Кафедра математики
физического факультета МГУ
Дисциплина «Введение в численные методы и математическое моделирование в физике» охватывает наиболее употребительные численные методы решения задач, возникающих в экспериментальной и теоретической физике, а также рассматривает основные подходы к математическому моделированию.
Первая часть курса содержит решение тех задач, которые традиционно относят к математическому анализу и которые вводят обучающегося в основные проблемы и пути их решения в численных методах. Эта часть курса включает решение линейных и нелинейных алгебраических уравнений и их систем, вычисление интегралов, интерполяцию, численное дифференцирование, аппроксимацию (включая обработку экспериментальных и других данных методом наименьших квадратов), нахождение собственных значений матриц и минимизацию функций и функционалов. Этот круг методов охватывает большую часть простейших проблем, возникающих при планировании и обработке экспериментов, а также при решении сравнительно простых задач теоретической физики.
Вторая часть курса охватывает задачи, традиционно относящиеся к математической физике. Он начинается с решения обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши для мягких, жестких и дифференциально-алгебраических систем, краевые задачи). Далее рассматривается базовые методы решения уравнений в частных производных: построение простейших разностных схем и метод прямых, позволяющий свести уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы позволяют решать сложные проблемы квантовой механики, газодинамики, физики реакторов и др.
В курс включены те методы, которые отличаются наиболее высокой надежностью и позволяют проводить компьютерные вычисления при минимальном контроле пользователя. Повышенное внимание в курсе уделено демонстрации программных реализаций рассматриваемых численных методов и математических моделей, а также выполнению студентами практических заданий с использованием современных вычислительных систем.
Тема 1. Нелинейные уравнения.
Тема 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Тема 3. Численное интегрирование.
Тема 4. Вычисления с контролем точности. Апостериорные оценки погрешности.
Тема 5. Вычисление несобственных интегралов.
Тема 6. Интерполяция функций.
Тема 7. Аппроксимация функций.
Тема 8. Численное дифференцирование.
Тема 9. Методы минимизации.
Тема 10. Поиск собственных значений.
Тема 11. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: основы, схема Эйлера.
Тема 12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: семейство схем Рунге-Кутты.
Тема 13. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: вычисления с контролем точности.
Тема 14. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: жесткие задачи.
Тема 15. Дифференциально-алгебраические системы.
Тема 16. Краевые задачи.
Тема 17. Интегральные уравнения.
Указанный порядок тем является примерным и может варьироваться на разных потоках.
Видеозаписи курса лекций Д. В. Лукьяненко (курсу "Введение в численные методы и математическое моделирование в физике" соответствуют лекции № 1 - 17 из плейлиста)
Видеозаписи курса лекций В. И. Приклонского (лекции ориентированы на студентов старших курсов, но при этом содержат значительную часть материала, излагаемого в курсе "Введение в численные методы и математическое моделирование в физике")
