Функциональный анализ

Функциональный анализ и элементы математической физики 

Читается в 7-ом семестре.
2 часа лекций в неделю, семинарские занятия

• Корпусов Максим Олегович
• Панин Александр Анатольевич (ученый секретарь)

Курс функционального анализа читается в течение 3-х семестров (7—9) и содержит как традиционный материал по основам функционального и вещественного анализа, так и приложения в области линейных и нелинейных задач математической физики. Часть лекций (с номерами, помеченными литерами) посвящены рассмотрению примеров, а также развитию и углублению теоретического материала. В качестве домашнего задания студентам даются задачи средней сложности, непосредственно связанные с материалами каждого семинара. Решения задач студенты защищают перед лектором в устной форме. В 7—8 семестрах изучается теория меры и интеграл Лебега; свойства метрических, топологических, нормированных (в основном банаховых), гильбертовых и векторных топологических пространств. Достаточно подробно изучаются свойства линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах (в т. ч. элементы спектральной теории), излагаются элементы теории двойственности банаховых и векторных топологических пространств. Изучаются пространства Лебега, Соболева, функций ограниченной вариации и их приложения к задачам математической физики. В 9 семестре продолжается изучение геометрических и топологических свойств банаховых пространств, а также излагаются идеи и методы нелинейного функционального анализа. Прежде всего, исследуются такие свойства нелинейных отображений, как дифференцируемость по Гато и по Фреше, непрерывность, компактность, вполне непрерывность и полная непрерывность. Вводится важное понятие оператора Немыцкого и теорема М. А. Красносельского. Затем рассматриваются различные вариационные методы, такие, как метод Люстерника—Шнирельмана в сочетании с принципом компактности Пале-Смейла, затем метод глобального расслоения С. И. Похожаева, метод рода множества М. А. Красносельского в сочетании с методом, основанном на теореме о горном перевале. После рассматриваются такие методы, как метод компактности, монотонности и теорем о неподвижной точке. В конце курса рассматриваются основные методы доказательства разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений в частных производных.

Литература:

Основная.

1. Арсеньев А. А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Ижевск: РХД, 2011.
2. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
3. Струве М. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. М.: УРСС, 2011.

Дополнительная.

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. Т.1-3. М.:Издательство иностранной литературы. 1962-1974.
2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1-4. М., Мир, 1977-1982.
3. В.И.Богачёв. Основы теории меры. Тома 1-2. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». Москва-Ижевск, 2003г.
4. С.С.Кутателадзе. Основы функционального анализа. Издательство «Наука», Сибирское отделение. 1983г.
5. П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. ИО НФМИ. 2000г.
6. К.Иосида. Функциональный анализ. Издательство «Мир», 1967г.
7. А.Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. МЦНМОБ 2004г.
8. В.М. Федоров. Курс функционального анализа. «Лань». 2005г.
9. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл мера, производная. М.: Наука, 1964.
10. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: , Наука, 1977.
11. Канторович Л.В, Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
12. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982.
13. Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976
14. П.Н.Князев. Фукциональный анализ. УРРС, 2003г
15. Ж.Дьедоне. Основы современного анализа. Москва. Мир. 1964г.
16. А.А.Кирилов. Теоремы и задачи функционального анализа. Москва. «Наука». 1988г
17. В.А.Треногин, Б.М.Писаревский, Т.С.Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Москва. «Наука».1984г.
18. В.А.Треногин. Функциональный анализ. Москва. «Наука». 1993г.
19. У.Рудин. Функциональный анализ. Издательство «Лань», 2005г.

Основные лекции (Корпусов М.О., Панин А.А.) в виде презентаций:

• Лекции №1-11

Основные лекции (Корпусов М.О.) в виде полных текстов:

• Лекция 1. Мера Лебега на плоскости
• Лекция 2. Абстрактная мера Лебега
• Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
• Лекция 4. Метрические пространства
• Лекция 5. Топологические пространства
• Лекция 6. Векторные топологические пространства
• Лекция 7. Банаховы пространства
• Лекция 8. Банаховы пространства. Продолжение
• Лекция 9. Транспонированный оператор
• Лекция 10. Банаховы пространства. Спектральная теория
• Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория
  
  

Все лекции. Том I первая часть курса лекций "Линейный и нелинейный функциональный анализ".

Семинары-лекции (Панин А.А.):

• Семинар 1. Элементы теории множеств
• Семинар 2. Свойства измеримых множеств
• Семинар 3. Элементы общей теории меры
• Семинар 4. Интеграл Лебега. Пространства Лебега
• Семинар 5. Примеры метрических пространств
• Дополнительная лекция 1. Метрические пространства Дополнение
• Семинар 6. Топологические пространства. Обсуждение
• Семинар 7. Направленности. Обсуждение
• Семинар 8. ВТП, Обсуждение
• Семинар 9. Банаховы пространства: Общие сведения
• Семинар 10. Банаховы пространства. Дальнейшие сведения
• Семинар 11. Спектральная теория. Обсуждение
• Семинар 12. Гильбертовы пространства. Обсуждение
• Семинар 13. Компактность. Основные идеи
  
  

Все семинары. Часть II первого тома курса лекций "Линейный и нелинейный функциональный анализ"

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ФАН-2

Вопросы

Все утверждения с доказательством, если не указанго (без д-ва.)