Основы алгебры и дифференциальной геометрии

Приглашаются все желающие, в т.ч. заинтересованные студенты младших курсов.

Читается в 8-ом семестре.
2 часа лекций в неделю

Анализ на гладких многообразиях играет важную роль в современной математической и теоретической физике при изучении объектов, не обладающих естественной линейной структурой. Примером таких объектов являются группы Ли, впервые появившиеся в конце 19 века в работах норвежского математика Софуса Ли при анализе симметрий дифференциальных уравнений и развившиеся, с тех пор, в самостоятельную математическую дисциплину, необходимую при изучении динамических систем, имеющих явные или скрытые симметрии. Динамические системы на гладких многообразиях часто возникают при симметрийной редукции динамических систем на линейных пространствах.

Изучение анализа на гладких многообразиях также способствует формированию математической интуиции, не связанной с конкретной системой координат, и позволяет взглянуть с более общих позиций на факты, изученные в общем курсе математического анализа.

Для понимания курса требуется хорошее знание общих математических курсов первых четырех семестров, а также начальные сведения из общей топологии. Ввиду недостатка времени часть утверждений не доказывается. Слушателям предлагаются задачи, решение которых необходимо для получения зачета.

• Щепетилов Алексей Валериевич

1. Алгебра внешних форм в линейном пространстве. Оператор Ходжа в алгебре внешних форм на псевдоевклидовом пространстве.
2. Гладкие и топологические многообразия. Классификация двумерных компактных топологических многообразий.
3. Векторные расслоения. Параллелизуемые многообразия. Непараллелизуемость четномерных сфер.
4. Внешний дифференциал. Производная Ли. Уравнения Максвелла на языке внешних форм.
5. Интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса.
6. Основы гамильтоновой механики на симплектических многообразиях.
7. Группы Ли и алгебры Ли.
8. Действия групп Ли на гладких многообразиях.
9. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.
10. Пуассонова структура на симметрической алгебре S(g) алгебры Ли g.
11. Пуассоново действие группы Ли и отображение момента.
12. Метод гамильтоновой редукции гамильтоновых систем с симметриями.
13. Линейная связность на векторных расслоениях.
14. Ковариантная производная и кривизна линейной связности на векторных расслоениях.

Литература.

• Основная.
  1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.Наука. 1974, 1979, 1989.
  2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир. 1968.
  3. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М. Мир.1987.
  4. Винберг Е.Б. Курс алгебры. М. Факториал Пресс. 2002.
• Дополнительная.
  1. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. // В книге: Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11. М. ВИНИТИ. 1986; РХД, Москва-Ижевск, 2000.
  2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М. Наука. 1979, 1986.
  3. Постников М.М. Гладкие многообразия. М. Наука. 1987.
  4. Постников М.М. Дифференциальная геометрия. М. Наука. 1988.
  5. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М. Наука. 1982.
  6. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. М. РХД. 2002.

Вопросы к зачету по спецкурсу