Кафедра математики
физического факультета МГУ
Курс охватывает наиболее употребительные численные методы для решения задач, возникающих в экспериментальной и теоретической физике.
Первая часть курса (лекции 1-10) содержит решение тех задач, которые традиционно относят к математическому анализу. Он включает решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление интегралов, интерполяцию, численное дифференцирование, аппроксимацию (включая обработку экспериментальных данных методом наименьших квадратов), нахождение собственных значений матриц и минимизацию функций и функционалов. Этот круг методов охватывает большую часть простейших проблем, возникающих при планировании и обработке экспериментов, а также при решении сравнительно простых задач теоретической физики.
Вторая часть курса охватывает задачи, традиционно относящиеся к математической физики. Он начинается с решения обыкновенных дифференциальных уравнений (лекции 11-17): задача Коши для мягких, жестких и дифференциально-алгебраических систем, краевые задачи. Далее следуют различные типы уравнения в частных производных (лекции 18-27): уравнение переноса, параболическое и гиперболическое уравнения (как одномерные, так и многомерные), а также интегральные уравнения. Эти методы позволяют решать сложные проблемы квантовой механики, газодинамики, физики реакторов и др.
Большое внимание в курсе обращено на получение оценок погрешности математических методов. Этого удается добиться благодаря систематическому применению сеточных методов с многократными сгущениями сеток. В курс включены те методы, которые отличаются наиболее высокой надежностью и позволяют проводить компьютерные вычисления при минимальном контроле со стороны пользователя.
Разбор всех численных схем сопровождается примерами с их программной реализацией на языке программирования Python.
Курс читается в 5-ом и 6-ом семестрах (2 часа лекций в неделю)
Тема 1. Нелинейные уравнения.
Тема 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Тема 3. Численное интегрирование.
Тема 4. Вычисления с контролем точности. Апостериорные оценки погрешности.
Тема 5. Вычисление несобственных интегралов.
Тема 6. Интерполяция функций.
Тема 7. Аппроксимация функций.
Тема 8. Численное дифференцирование.
Тема 9. Методы минимизации.
Тема 10. Поиск собственных значений.
Тема 11. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: основы, схема Эйлера.
Тема 12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: семейство схем Рунге-Кутты.
Тема 13. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: вычисления с контролем точности.
Тема 14. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: автоматический выбор шага.
Тема 15. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: жесткие задачи.
Тема 16. Дифференциально-алгебраические системы.
Тема 17. Краевые задачи.
Тема 18. Уравнения в частных производных.
Тема 19. Уравнения в частных производных параболического типа.
Тема 20. Уравнения в частных производных псевдопараболического типа.
Тема 21. Уравнения в частных производных: вычисления с контролем точности.
Тема 22. Уравнения в частных производных гиперболического типа.
Тема 23. Уравнения в частных производных: вычисления на квазиравномерных сетках.
Тема 24. Интегро-дифференциальные уравнения.
Тема 25. Бикомпактные схемы и слоистые среды.
Тема 26. Интегральные уравнения.
Тема 27. Уравнения в частных производных: многомерные уравнения.
