Щепетилов Алексей Валериевич

Алексей Валериевич Щепетилов родился 9 июня 1968 года в Москве. После окончания в 1985 году средней школы поступил на физический факультет МГУ. В 1994 году закончил аспирантуру кафедры математики физического факультета МГУ. С 1994 года сотрудник кафедры. К.ф.м.н. с 1994 г., д.ф.м.н. с 2010 г.

Комн. 4-56, раб. тел. (495) 939-3947.

Область научных интересов: геометрические и симметрийные методы в математической физике.

Читает лекции по математическому анализу (3 семестр) и спецкурс "Введение в дифференциальную геометрию". 
* скачать лекции по математическому анализу 

Основные научные результаты:

Классическая и квантовомеханическая задача двух тел исследована с различных точек зрения на двухточечно однородных римановых пространствах, которые являются в некотором смысле естественными для этой задачи. В данный класс римановых пространств, в частности, входят пространства постоянной кривизны и евклидово пространство.

Получено описание алгебр инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер над двухточечно однородными римановыми пространствами в терминах образующих и соотношений. Единообразно для всех двухточечно однородных римановых пространств получено выражение двухчастичного квантовомеханического гамильтониана через радиальный дифференциальный оператор и данные образующие. На основе этого выражения для некоторых пространств построено самосопряженное расширение гамильтониана с начальной областью определения и на основе теории представления групп получены явные формулы для некоторых бесконечных спектральных серий.

Для пространств постоянной секционной кривизны проведена гамильтонова редукция классической задачи и дана классификация полученных приведенных динамических систем с двумя степенями свободы. Для ряда значений отображения момента получены условия на потенциал взаимодействия, обеспечивающие существование глобального решения, т.е. отсутствие столкновений тел на бесконечном интервале времени. Исследованы свойства различных возможных определений понятия центра масс на двухточечно однородных пространствах.

Попутно получены некоторые дифференциально-геометрические результаты общего характера: выражение оператора Лапласа-Бельтрами на римановом пространстве в подвижном репере, и в частности через киллинговы векторные поля; описание редуцированного кокасательного расслоения однородного пространства в терминах орбит коприсоединенного действия соответствующей группы Ли.

Найден геометрический смысл координатно-матричной конструкции R. Sasaki (Sasaki R. Soliton equations and pseudospherical surfaces, Nuclear Phys., V. 154 B (1979), pp. 343-357), широко известной как средство построения представления нулевой кривизны для ряда нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Показано, что она задает некоторую связность в некотором векторном расслоении над произвольным римановым пространством. Получено бескоординатное описание данной связности через связность Леви-Чивита. Для пространств постоянной кривизны данная конструкция тесно связана с их каноническим вложением в евклидово (для положительной кривизны) и псевдоевклидово (для отрицательной кривизны) пространство.

Основные публикации.

1. A.V. Shchepetilov. The geometric sense of the Sasaki connection, J. Phys. A: Math. Gen., V. 36 (2003), pp. 3893-3898(MR 2004a: 53029), also available at http://arxiv.org
2. A.V. Shchepetilov. Two-body problem on two-point homogeneous spaces, invariant differential operators and the mass centre concept, J. Geom. Phys., V. 48 (2003), pp. 245-274. (MR 2005k:70025), also available at http://arxiv.org
3. A.V. Shchepetilov. Algebras of invariant differential operators on unit sphere bundles over two-point homogeneous Riemannian spaces, J. Phys. A: Math. Gen., V. 36 (2003), pp. 7361-7396 (MR 2004i:43019), also available at http://arxiv.org
4. A.V. Shchepetilov. The two-body quantum mechanical problem on spheres, J. Phys. A: Math. Gen., V. 39 (2006), pp.~4011-4046 (MR 2007c:81080), also available at http://arxiv.org
5. A.V. Shchepetilov. Nonintegrability of the two-body problem in constant curvature spaces, J. Phys. A: Math. Gen. V. 39 (2006), pp. 5787-5806 (MR 2007c:70014), also available at http://arxiv.org
6. A.V. Shchepetilov. Calculus and Mechanics on Two-Point Homogenous Riemannian Spaces. Lecture Notes in Physics, Vol. 707, Springer Verlag, 2006. http://www.springer.com/.... Русский перевод: Щепетилов А.В. Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2008. - 360 стр.

Член Американского математического общества с 2001 года.