Кафедра математики
физического факультета МГУ
Данный конспект лекций является компиляцией
из книг, указанных в списке литературы (большой частью из книг А. В. Бицадзе, Л. К. Эванса,
Н. В. Крылова, Е. М. Ландиса) и адаптированных к
восприятию студентов 4 го курса кафедры математики физического
факультета МГУ.
В первой лекции мы рассмотрели основные результаты относительно решений уравнения Лапласа, а также функций Грина для оператора Лапласа.
Затем, во второй лекции мы рассмотрели слабый принцип максимума, сильный принцип максимума и принцип Жиро с некоторыми примерами
их приложений для единственности решений первой, второй и третьей краевых задач. В третьей лекции используя
вариационный метод и метод априорных оценок в сочетании с методом Галеркина, мы доказали однозначную разрешимость в слабом смысле
задачи Дирихле для равномерно эллиптического оператора. В четвертой лекции мы вывели априорную оценку Шаудера для общего равномерно эллиптического оператора, с помощью
которой методом продолжения по параметру мы доказали однозначную разрешимость задачи Дирихле.
Наконец, в пятой лекции мы используя сингулярное решение равномерно
эллиптического оператора получили третью формулу Грина, на основе которой строится теория потенциала для эллиптических уравнений второго
порядка с переменными коэффициентами.
1. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Лекции по математической физике. М.: Издательство МГУ; Наука, 2004. - 416 с.
2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966, 204 с.
3. Вентцель Т. Д., Горицкий А. Ю., Капустина Т. О. и др. Сборник задач по уравнениям с частными производными. Под редакцией А. С. Шамаева. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005, 158 с.
4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989, 464 с.
5. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998, 178 с.
6. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. Москва: Наука, 1971, 288 с.
7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957, 257 с.
8. Нефедов Н. Н. Дополнительные главы к курсу Методы математической физики. "Нелинейные эллиптические уравнения. Метод дифференциальных неравенств.".
Москва: Изд-во физического факультета МГУ, 1998.
9. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. I часть. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2005. - 252 с.
10. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988, 336 с.
11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Москва: Мир, 1968, 428 с.
12. Шишмарев И. А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: Издательство МГУ, 1979, 184 с.
13. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003, 562 с. --- (Университетская серия; Т. 7).
14. Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum principles in differential equations. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1967, 261 pp.
Вопросы к экзамену Kniga-elliptic
